262 / 2019-09-25 14:58:29

不可压缩N-S方程数值求解的独立覆盖流形法初探

Navier-Stokes方程；自适应分析；拉格朗日观点；自由面捕捉；独立覆盖流形法

计算流体力学、多场耦合、生物力学、动力学等 > 计算流体力学

求解流体力学Navier-Stokes（N-S）方程的有限差分、有限体积、有限元等数值方法在网格生成、误差控制、由对流项引起的非线性分析技术、流体自由面捕捉等方面仍有待改进。本文尝试用独立覆盖流形法解决上述问题。
该方法采用“分区级数解”构造数值计算的近似函数：用分片覆盖离散求解域；在每个（独立）覆盖中用多项式等完备级数逼近真实解；在相邻覆盖之间的窄条连接中，用单位分解函数将各覆盖级数连成整体连续的近似函数。该方法随各覆盖级数的局部逼近而自然收敛，且“任意形状、任意连接”的覆盖特性使覆盖网格实现了自动生成和任意加密。
首先研究一维对流-扩散方程和Burgers方程，采用伽辽金法，在分区级数特有的误差控制下，通过自动的网格加密和级数升阶的自适应分析得到精确的计算结果，并能有效抑制强对流下的非物理振荡。推广到二维N-S方程，通过自动的误差控制和网格加密，在方腔驱动流的稳态分析中也获得好的结果。
再从一维开始，引入拉格朗日观点，用上一步的级数解求得当前步的流体质点在上步的位置，以其速度作为当前步的起始速度，从而消除对流项及其带来的非线性。推广到二维计算，很自然地实现移动自由面上的质点追踪和自由面捕捉。
通过级数系数之间的关系，尝试让覆盖级数自动满足不可压条件。仅需计算动量方程。但计算精度不足时反而更不准确，有待改进。
下一步将综合上述研究，用分时步的自动误差控制及网格加密，实现拉格朗日观点下的N-S方程的自动计算，包括移动自由面的准确捕捉。